Числові послідовності. Властивості числових послідовностей

Числові послідовності. Властивості числових послідов­ностей.

«Вивчення математики подібне до Нілу, що починається невеликим струмком, а закінчується великою річкою.» (Колтон)

Предметом вивчення математики є не тільки вирази, рівняння, нерівності; математика вивчає також результати спостережень за ре­альними фізичними, хімічними процесами, кліматичними явища­ми, які виражаються у вигляді рядів чисел, кожне з яких стоїть у цьому записі на строго визначеному місці. Тому наше завдання - вивчити питання про ці «ряди чисел», а також можливості подальшого застосування цих понять на практиці.

Числові послідовності – явище, без перебільшення, унікальне. Історія їх виникнення губиться в глибині віків. Вже у клинописних табличках вавилонян, у єгипетських папірусах, датованих ІІ тисячоліттям до н.е., зустрічаються задачі на арифметичну і геометричну прогресії. Впродовж століть людей приваблювала внутрішня гармонія і краса числових рядів. Давайте помандруємо з вами у глибину віків, зокрема у Стародавній Єгипет та Італію.

Числовою послідовністю називається функція, яка задана на множині всіх натуральних чисел або на множині перших п натуральних чисел.

Числова послідовність позначається так:

(ап): а1; а2; а3; ...; ап.

Кожне число ап — п-й член послідовності; п — номер члена.

Види числових послідовностей

1. Якщо кількість членів п послідовності (ап) скінченна, то (ап) — скінченна послідовність.

Якщо кількість членів п послідовності (ап) нескінченна, то (ап) — нескінченна послідовність.

Приклади:

а) послідовність (ап) натуральних чисел нескінченна;

б) послідовність (ап) коренів рівняння (х – 1)(х – 2)(х + 3) = 0 скінченна.

2. Якщо кожний наступний член послідовності, починаючи з другого, більший за попередній, то послідовність є зрос­таючою.

Якщо кожний член послідовності, починаючи з другого, менший від попереднього, то послідовність є спадною.

Приклади:

а) (ап): 1; 2; 3; ... — послідовність натуральних чисел є зростаючою;

б) (bп): -1; -2; -3; ... — послідовність цілих від'ємних чисел є спадною.

Способи задання числових послідовностей:

1) описом знаходження її членів.

Приклад. Числова послідовність дільників числа 15, за­писаних у порядку зростання: (ап): а1= 1; а2 = 3; а3 = 5; ...; а4 = 15;

2) переліком її членів.

Приклад. (аn): 54; 1; 33; 27, тоді а1 = 54; а2 = 1; а3 = 33; а4 = 27;

3) таблицею. Приклад.

п 1 2 3 4 5

ап -2 1 -4 1 -6

Тоді а1 = -2; а2 = 1; а3 = - 4; а4 = 1; а5 = 6;

4) формулою п-го члена.

Приклад. ап = п2 – 1, тоді а1 = 12 – 1 = 0; а2 = 22 – 1 = 3; а3 = 32 – 1 = 8 і т.д.;

5) рекурентною формулою.

Приклад. ап = а п-1 ∙ ап-2, якщо а1 = 1; а2 = 2, тоді а1 = 1; а2 = 2; а3 = а2 ∙ а1= 2; а4 = а3 ∙ а2 = 2 ∙ 2 = 4; а5 = а4 ∙ а3 = 4 ∙ 2 = 8.